Lý thuyết & bài tập phương trình vi phân

[daigai]

Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết nối
Giáo trình Toán giải tích A4
1. ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1.1 Khái niệm
– Xét một phương trình mà ẩn là hàm số một biến y, chẳng hạn như
y xy y y '' 3 5 ' 0 − + = ,
trong đó có chứa đạo hàm của y. Phương trình này được gọi là phương trình vi phân .
Cấp cao nhất của đạo hàm trong phương trình là cấp 2, nên phương trình này được gọi là phương
trình vi phân cấp 2.
– Phương trình y xy y '' 3 ' 5 0 − + = được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2.
– Phương trình 3 ' 7 sin y xy x + = được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
– Phương trình y xy y y '' 3 5 ' 0 − + = là phương trình vi phân nhưng không tuyến tính.
– Phương trình vi phân y' = 2xy-3y2 có dạng y f x y ' ( , ) = và được gọi là phương trình đã giải ra
đối với đạo hàm.
– Coi phương trình vi phân y ' 1 = . Nghiệm trên \ của phương trình vi phân này có dạng y=x+C với
C là hằng số tùy ý. Người ta gọi y=x+C, trong đó C là hằng số tùy ý, là nghiệm tổng quát ( general
solution) của phương trình vi phân y ' 1 = trên \ .
Các hàm số y=x+1, y=x+2 được gọi là các nghiệm đặc biệt (particular solution) của phương
trình vi phân y ' 1 = trên \ .
– Đường biểu diễn của nghiệm y = y(x) được gọi là đường cong nghiệm hay đường cong tích phân
của phương trình vi phân.
– Xét phương trình vi phân yy x ' = − . Lấy tích phân hai vế ta được y x C 2 2 = − + . Hệ thức
y x C 2 2 = − + được gọi là nghiệm ẩn ( implicit solution) của phương trình vi phân. Khi nào nghiệm
có dạng y=f(x) thì nó được gọi là nghiệm tường minh ( explicit solution).
1.2. Định nghĩa phương trình vi phân
– Một phương trình vi phân là phương trình hàm ( một biến ) có chứa đạo hàm của hàm cần tìm. Nếu
bậc cao nhất của đạo hàm trong phương trình vi phân là n, thì phương trình này được gọi là phương
trình vi phân cấp n.
– Xét phương trình vi phân cấp n
F(x, y, y',…, y(n)) = 0,
trong đó biểu thức F(x, y,..., y(n)) thực sự chứa y(n).
Hàm số y = y(x) được gọi là nghiệm của phương trình vi phân trên khoảng I (với I ⊂ R) nếu hàm
số y = y(x) thỏa tính chất
∀x ∈ I, F(x, y(x), y'(x), …, y(n)(x)) = 0.
Chú thích:
Tính chất trên bao hàm hai tính chất sau
• Hàm số y khả vi tới cấp n trên I, tức các đạo hàm y'(x), y"(x),... y(n)(x) tồn tại với mọi x ∈ I .
• ∀x ∈ I, (x, y(x),..., y(n)(x)) thuộc miền xác định của F.
1.2 Định nghĩa nghiệm
– Một hệ thức G(x,y)=0 được gọi là nghiệm ẩn trên khoảng I của phương trình vi phân nếu tồn tại
một hàm số y vừa thỏa hệ thức G(x,y(x) )=0 vừa thỏa phương trình vi phân với mọi x thuộc I.
Ví dụ: Xét phương trình vi phân yy x ' 0 + = .
Lấy tích phân hai vế ta được + =
2 2
2 2
y x
C hay y x K 2 2 + = với K là hằng số.
Ta thấy hệ thức y x 2 2 + = 25 là một nghiệm ẩn của phương trình vi phân yy x ' 0 + = trên
khỏang I = − + ( 5, 5). Thật vậy, tồn tại hàm số y= 25 − x 2 xác định trên (-5,5) và thỏa
⎧ + =
⎪
⎨ ∀ ∈
⎪ + = + =
⎩
2 2
25
' 0
y x
yy x x 2
2
-x , x I
25-x
25-x

– Nếu biểu thức của nghiệm có chứa tham số và mọi nghiệm của phương trình đều có dạng này
(các nghiệm khác nhau thì ứng với các giá trị khác nhau của tham số), thì nghiệm này được gọi là
nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.
⎧ + =
⎪
⎨ ∀ ∈
⎪ + = + =
⎩
2 2
25
' 0
y x
yy x x 2
2
-x , x I
25-x
25-x
2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
Trong đoạn này, một số phương pháp giải phương trình vi phân cấp 1 được trinh bày. Mục đích của
đoạn này chỉ là giới thiệu phương pháp, do đó có một số chỗ lý luận chưa đúng nhưng chúng tui vẫn
lướt qua. Chẳng hạn, việc chia hai vế của phương trình cho một đại lượng ( đại lượng này có thể bằng
0) là không đúng về lý luận. Chúng tui sẽ bổ sung các chỗ lý luận chưa đúng trong các đoạn sau.
2.1. Phương trình tách biến
Phương trình sau được gọi là phương trình tách biến : h(y)y' = g(x)
Dạng này có thể viết dưới các hình thức sau
h(y) g(x)
dx
dy
= ; h(y) dy = g(x) dx ; h(y) dy + f(x) dx=0.
2.1.1. Phương pháp giải
Lấy nguyên hàm hai vế, ta được ∫ h(y) dy =∫ g(x)dx
H(y) = G(x) + C ,
trong đó H là nguyên hàm của h và G là nguyên hàm của g.
Phương trình trên không còn chứa đạo hàm của y, nghiệm y của phương trình vi phân được xác định
bởi phương trình này.
2.1.2. Thí dụ. Hãy giải phương trình y' = 5x2 trên R....
Lời giải : Lấy nguyên hàm hai vế ta được nghiệm tổng quát như sau x C


Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:

You must be registered for see links

 

Tags: lí thuyết phương trình vi phân cấp 2